(1) If an individual is human, s/he is probably not the Pope;
(2) John Paul II is human;
(3) therefore John Paul II is probably not the Pope.
Stephen P. Gosden
In diesem Artikel werden die Siegwahrscheinlichkeiten für unterschiedlich starke Vereine in verschiedenen Runden des Pokals ermittelt. Unterschieden wird zwischen bekannten und unbekannten Gegnern und der Größe des Pokalwettbewerbs. Die Siegwahrscheinlichkeiten in der ersten Pokalrunde und die Siegwahrscheinlichkeiten im Pokalfinale sind inzwischen bekannt. Wie aber lassen sich die Siegwahrscheinlichkeiten für die anderen Pokalrunden bestimmen? Für jede Runde die Vereinsstärken von drei verschiedenen Vereinen ermitteln, damit jeweils drei Aufstellungen bilden und ein Turnier "jeder gegen jeden" veranstalten ist mir jedenfalls zu aufwendig.
Vergleicht man die Siegchancen gegen die verschiedenen Klassen von Vereinen in der ersten Pokalrunde und dem Finale, findet man kaum Unterschiede, nur Verein A holt gegenüber Verein C etwas auf. Prima! Dann bilde ich einfach die Mittelwerte und rechne in allen anderen Runden mit diesen Werten weiter:
| Pokalrunde | 1. Runde | Finale | Andere | |||||||||
| Siegchancen in % für | A | B | C | A | B | C | A | B | C | |||
| gegen | A | 50.0 | 9.9 | 82.2 | 50.0 | 11.8 | 62.4 | 50.0 | 10.0 | *** | ||
| B | 90.1 | 50.0 | 98.3 | 88.2 | 50.0 | 93.5 | 90.0 | 50.0 | 95.0 | |||
| C | 17.8 | 1.7 | 50.0 | 37.6 | 6.5 | 50.0 | *** | 5.0 | 50.0 | |||
Die Siegwahrscheinlichkeiten von A gegen C und umgekehrt passe ich stufenweise an: für A 18-22-26-30-34-38 von Runde 1 bis Runde 6, für C 82-78-74-70-66-62. Jetzt muß ich noch wissen, wieviele Vereine der Klassen A, B, C und Amateur in jeder Runde spielen, um die Siegchancen für jeden Verein gegen einen unbekannten Gegner in dieser Runde zu berechnen. Die Siegchancen gegen unbekannte Profis aus der ersten Runde habe ich ja, und die muß ich nur mit der Anzahl der Vereine in der ersten Runde multiplizieren, und schon weiß ich, wieviele Vereine es in die zweite Runde geschafft haben. Für die Amateure habe ich ja genau das auch schon gemacht, und zwar im Artikel Der Pokal aus der Sicht eines durchschnittlichen Vereins.
Zunächst unterstelle ich eine einen großen Pokal und eine Verteilung von 60% Vereine der Klasse A, 20% B und 20% C. Das sind 29 A- 5,5 B- und 5,5 C-Vereine. Die 29 A-Vereine treffen vermutlich auf 0,6*2*9 = 11 Profis und 0,6*30 = 18 Amateure. Warum? Es finden durchschnittlich in der ersten Pokalrunde (48:128)*(80:128)*64*2 = 30 Partien Profi gegen Amateur und (48:128)*(48:128)*64 = 9 Profi gegen Profi statt. In eine Partie Profi gegen Profi kann Verein A als erster oder zweiter Profi gelost werden, darum muß hier noch der Faktor 2 ergänzt werden. Ich verwende die im Artikel Siegwahrscheinlichkeiten in der ersten Pokalrunde ermittelten Siegwahrscheinlichkeiten für die Verteilung 60% A, 20% B und 20% C. Es kommen im Schnitt 11 * 0,52 + 18 * 0,9 = 22 Vereine der Klasse A in die zweite Runde. Von den Vereinen der Klasse B schaffen es nur (0,2*2*9) * 0,16 + (0,2*30) * 0,8 = 5 Vereine, von den Vereinen der Klasse C dagegen (0,2*2*9) * 0,79 + (0,2*30) * 0,95 = 9.
Wenn alles stimmt, müßten genau 64 Vereine die zweite Runde erreichen. Mal sehen: 22 Vereine der Klasse A, 5 der Klasse B und 9 der Klasse C. Dazu kommen noch, wie bereits im Artikel Der Pokal aus der Sicht eines durchschnittlichen Vereins berechnet, 28 Amateure. Macht zusammen 22 A + 5 B + 9 C + 28 Am = 64 Vereine. Na bitte!
Und wie sieht das für die Verteilung 80% Klasse A, 10% Klasse B und 10% Klasse C aus? Hier schaffen es (0,8*2*9) * 0,51 + (0,8*30) * 0,9 = 29 Vereine der Klasse A, (0,1*2*9) * 0,13 + (0,1*30) * 0,8 = 3 Vereine der Klasse B und (0,1*2*9) * 0,81 + (0,1*30) * 0,95 = 4 Vereine der Klasse C. Wie sich das gehört, erreichen auch hier 29 + 3 + 4 + 28 = 64 Vereine die zweite Runde. Dabei sind die Zahlen für B stark auf- und für C stark abgerundet. Zum Weiterrechnen verwende ich als Ausgangsverteilung 34 Vereine der Klasse A und jeweils 7 Vereine der Klassen B und C, was einer Verteilung von 70% - 15% - 15% entspricht.
Beim Weiterrechnen berücksichtige ich Zehntelvereine. Die Anzahl der Amateure muß ich dabei auch neu berechnen. Schließlich hat jeder Vereinstyp bei den Profis seine eigenen Siegchancen von 90, 80 bzw. 95% gegen Amateure bekommen, damit lassen sich auch die konstanten 10% der Amateure gegen die Profis nicht mehr halten. Größer als einen halben Verein würde der Rundungsfehler allerdings mit den alten Werten auch nicht.
Die Siegwahrscheinlichkeiten gegen bekannte Gegner wurden bereits im Abschnitt Die rundenabhängigen Siegchancen gegen bekannte Gegner geschätzt, zusammen mit der Anzahl der durchschnittlich noch im Pokal verbliebenen Vereine gegen diese Gegner können daraus auch die Siegchancen gegen unbekannte Profis berechnet werden. Für Verein A liegen diese Siegchancen bei (0,5*28 + 0,9*3 + 0,22*6) : (28+3+6) = 49%, für Verein B bei 12% und für Verein C bei 75%. Mit den Siegchancen gegen unbekannte Profis und der Anzahl der Vereine der Klassen A, B, C und Amateur läßt sich nun wieder berechnen, wieviele Vereine der unterschiedlichen Klassen die dritte Runde erreichen. Alle Siegwahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte für die Anzahl unterschiedlicher Vereine habe ich für den großen und den kleinen Pokal berechnet und in einer Tabelle zusammengefaßt:
| Großer Pokal | Pokalrunde | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Verein A | Anzahl der Vereine | 34 | 25,5 | 17,1 | 9,9 | 5,0 | 2,3 | 1 |
| Sieg gegen Profi | 51 % | 49 % | 48 % | 46 % | 45 % | 45 % | 44 % | |
| Sieg gegen Alle | 75 % | 67 % | 58 % | 50 % | 46 % | 45 % | 44 % | |
| Verein B | Anzahl der Vereine | 7 | 3,9 | 1,7 | 0,5 | 0,1 | 0 | 0 |
| Sieg gegen Profi | 15 % | 13 % | 12 % | 10 % | 9 % | 8 % | 7 % | |
| Sieg gegen Alle | 56 % | 43 % | 29 % | 17 % | 11 % | 8 % | 7 % | |
| Verein C | Anzahl der Vereine | 7 | 6,3 | 5,3 | 4,0 | 2,7 | 1,7 | 1 |
| Sieg gegen Profi | 80 % | 75 % | 70 % | 65 % | 61 % | 57 % | 56 % | |
| Sieg gegen Alle | 89 % | 84 % | 76 % | 68 % | 62 % | 57 % | 56 % | |
| Amateur | Anzahl der Vereine | 80 | 28,3 | 7,9 | 1,6 | 0,2 | 0 | 0 |
| Sieg gegen Profi | 11 % | 10 % | 10 % | 9 % | 8 % | 8 % | 7 % | |
| Sieg gegen Alle | 35 % | 28 % | 20 % | 13 % | 9 % | 8 % | 7 % | |
So viele Wahrscheinlichkeiten! Die "Sieg gegen Alle"-Wahrscheinlichkeiten kann ich gleich einmal dafür verwenden, die Chance auf einen Pokalsieg für die verschiedenen Klassen von Vereinen zu berechnen. Für Verein A beträgt die Chance auf einen Pokalsieg gut 1%, für Verein B weniger als 0,0007% und für Verein C deutlich über 7%. Interessant scheint mir auch, daß der Pokalsieg nach diesem Modell mit 44% an einen durchschnittlichen und zu 56% an einen starken Verein geht. In der Praxis scheinen aber deutlich häufiger starke Vereine den Pott zu holen -- vielleicht haben die starken Vereine ja nicht nur mehr WP zur Verfügung, sondern gehen auch geschickter damit um. Für den kleinen Pokal sehen die Zahlen ähnlich aus:
| Kleiner Pokal | Pokalrunde | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Verein A | Anzahl der Vereine | 25 | 17,0 | 10,0 | 5,0 | 2,3 | 1 |
| Sieg gegen Profi | 51 % | 48 % | 46 % | 45 % | 45 % | 44 % | |
| Sieg gegen Alle | 68 % | 59 % | 50 % | 46 % | 45 % | 44 % | |
| Verein B | Anzahl der Vereine | 5,5 | 2,4 | 0,7 | 0,1 | 0 | 0 |
| Sieg gegen Profi | 15 % | 13 % | 11 % | 9 % | 8 % | 7 % | |
| Sieg gegen Alle | 44 % | 29 % | 17 % | 11 % | 8 % | 7 % | |
| Verein C | Anzahl der Vereine | 5,5 | 4,8 | 3,8 | 2,7 | 1,7 | 1 |
| Sieg gegen Profi | 79 % | 74 % | 69 % | 61 % | 57 % | 56 % | |
| Sieg gegen Alle | 86 % | 79 % | 71 % | 62 % | 57 % | 56 % | |
| Amateur | Anzahl der Vereine | 28 | 7,8 | 1,5 | 0,2 | 0 | 0 |
| Sieg gegen Profi | 11 % | 10 % | 9 % | 8 % | 8 % | 7 % | |
| Sieg gegen Alle | 28 % | 20 % | 13 % | 9 % | 8 % | 7 % | |
In den ersten paar Runden gibt es noch einige Unterschiede zwischen kleinem und großem Pokal. Die schwachen Vereine, die im großen Pokal schon in der ersten Runde ausgesiebt wurden, sind in der ersten Runde des kleinen Pokals eben noch dabei. An ihren geringen Chancen ändert das aber nichts: Schon im Viertelfinale sind die Mischung der Vereine und die Siegchancen in beiden Pokalwettbewerben identisch.
Ganz nebenbei bieten die Tabellen eine theoretische Beschreibung dafür, wie ein Pokalwettbewerb abläuft, also wieviele starke, durchschnittliche und schwache Profis und wieviele Amateure durchschnittlich die verschiedenen Pokalrunden erreichen und warum. Das mag den Theoretiker ja freuen, aber als Manager interessiert mich das überhaupt nicht. Mich interessiert für die Trainingsplanung, wieviele WP ich mit meinem Verein durchschnittlich jede Saison im Pokal erwarten kann und wieviele WP ich diese Saison noch erwarten kann, wenn ich meinen nächsten Gegner schon kenne. Außerdem brauche ich noch den Wert, den ein Sieg im Pokal für meinen Verein hat, wenn ich herausfinden will, ob ich meine Talente besser in der Liga oder im Pokal einspiele. Da wartet noch ein wenig Rechenarbeit, und zwar im Artikel Der vereinsspezifische Wert von Siegen im Pokal.