Der Pokal aus der Sicht eines durchschnittlichen Vereins

Prediction is very difficult, especially about the future.
Niels Bohr

Die Grundlagen

Es ist eine Binsenweisheit: Der Pokal hat seine eigenen Gesetze. Während ein Ligaspiel einen WP und 40 kKj, einen halben WP und 20 WP oder aber überhaupt nichts einbringt, lockt ein Pokalspiel nicht nur mit einem WP und 40 kKj für einen Sieg, sondern darüber hinaus mit der Möglichkeit, in weiteren Spielen zusätzliche WP und Einnahmen zu erspielen. Ein Sieg in einem Pokalspiel scheint also wertvoller zu sein als in einem Ligaspiel. Aber wie groß ist eigentlich der Wertunterschied?

Der Sieg in einem Pokalspiel ist zunächst einmal genau wie ein Ligaspiel (1 WP + 40 kKj) für die aktuelle Pokalrunde wert. Dazu kommt noch für die zweite Pokalrunde die durchschnittlich erzielbaren WP und kKj, die sich als Produkt aus Siegwahrscheinlichkeit in Runde zwei und (1 WP + 40 kKj) berechnen. Für alle weiteren Pokalrunden muß (1 WP + 40 kKj) nicht nur mit der Siegwahrscheinlichkeit für die jeweilige Runde multipliziert werden, sondern zusätzlich mit der Wahrscheinlichkeit, diese Runde überhaupt zu erreichen. Und diese Wahrscheinlichkeit entspricht natürlich genau dem Produkt der Siegwahrscheinlichkeiten der vorangegangenen Runden.

Wenn ich ganz naiv für einen durchschnittlichen Verein jede Runde eine Siegwahrscheinlichkeit von 50% unterstelle, ergibt sich für ihn als Wert eines Sieges im Pokalspiel der ersten Pokalrunde (1 + 0,5 + 0,5² + 0,5³ + 0,5⁴ + 0,5⁵) (1 WP + 40 kKj) für einen Pokalwettbewerb mit sechs Runden. Vermutlich sind aber die Siegchancen in den frühen Pokalrunden etwas höher, weil man dort auch auf Amateure treffen kann. Danach sinkt die Siegwahrscheinlichkeit jedoch, schließlich kommen jede Runde im Schnitt mehr starke als schwache Vereine weiter. Wie oft kommt es schon vor, daß ein niederklassiger Verein den Pokal gewinnt? Daß ein erstklassiger Verein das Double Meisterschaft und Pokal schafft, ist dagegen gar nicht so selten zu beobachten. Ein Sieg in einem Pokalspiel hat in Runde i den Wert

Für den Wert eines Pokalspiels ist die Größe des Pokalwettbewerbs natürlich wichtig. Ein kleiner Pokalwettbewerb für drei 12er-Profiligen mit 28 Amateuren hat sechs Runden, ein großer für vier 12er-Ligen mit 80 Amateuren hat deren sieben. Aber auch die p(i) sind natürlich unterschiedlich, hauptsächlich weil man im großen Wettbewerb bessere Chancen hat, einen Amateur als Gegner zugelost zu bekommen.

Die Chancen der Amateure

Wenn die Amateure für die rundenabhängigen p(i) von Bedeutung sind, berechnen wir zunächst einmal, wieviele Amateure überhaupt in den verschiedenen Runden spielen. Jede Runde werden etwa 10% der Amateure, die gegen einen Profi spielen, weiterkommen, und exakt 50% derer, die gegen einen Amateur spielen. Der Erwartungswert für die Anzahl der Partien zwischen einem Profi und einem Amateur in Runde eins beträgt (36:64)*(28:64)*32*2 = 15,75 im kleinen Pokal und (48:128)*(80:128)*64*2 = 30 im großen Pokal, für die Anzahl der Partien zwischen zwei Amateuren (28:64)*(28:64)*32 = 6,125 im kleinen und (80:128)*(80:128)*64 = 25 im großen Pokal. Der zusätzliche Faktor 2 für die Begegnungen Profi-Amateur ergibt sich dadurch, daß bei der Auslosung einer Pokalbegegnung zuerst der Amateur und dann der Profi gezogen werden kann, aber genausogut erst der Profi und dann der Amateur. Insgesamt kommen im kleinen Pokal durchschnittlich 15,75*0,1 + 6,125 = 7,7 Amateure in die zweite Runde, im großen Pokal dagegen 30*0,1 + 25 = 28.

Erwartungsgemäß profitieren die Amateure im großen Pokalwettbewerb hauptsächlich von der größeren Wahrscheinlichkeit, auf einen anderen Amateur zu treffen, gegen einen Profi kommt auch hier kaum einer weiter. Insgesamt scheinen mir die Zahlen durchaus realistisch zu sein. Nebenbei sind sie auch sehr praktisch, denn weil im großen Wettbewerb genau 28 Amateure weitergekommen sind, kann man den großen Wettbewerb ab der zweiten Runde mit den Zahlen des kleinen Wettbewerbs weiterrechnen:

Wer bisher ernsthaft von einem Pokalsieg mit seinen Amateuren geträumt hat, den werden diese Zahlen ernüchtern. Die Chance beträgt für einen Amateurverein etwa 0,002 * 0,1 : 28 = 0,0007% im kleinen und 0,0003% im großen Pokalwettbewerb. Natürlich müssen die Zahlen so nicht stimmen, eine durchgehende Siegchance von 10% gegen Profis unabhängig von der Runde ist natürlich eine gewagte Annahme. Am Ergebnis, daß die Amateure letztlich chancenlos sind, werden aber auch andere Zahlen nichts ändern, und die Praxis gibt dem Modell zumindest in diesem Punkt recht.

Die Ermittlung der rundenabhängigen Siegchancen

Die p(i) schätze ich folgendermaßen: In der ersten Runde wird für den unterstellten durchschnittlichen Verein die Siegchance gegen einen Profi bei 50%, gegen einen Amateur bei etwa 90% liegen. In der nächsten Runde werden die Chancen gegen einen Profi geringer sein, weil vor allem schwache Profis aus dem Pokal fliegen. Ich unterstelle hier mal Siegchancen von der ersten bis zur letzten Runde von 50-45-43-42-41-40 % im kleinen und 50-48-45-43-42-41-40 % im großen Pokalwettbewerb.

Die Werte sind einfach so ins Blaue geraten. Etwas genauer werde ich die Werte in den Artikeln Siegwahrscheinlichkeiten in der ersten Pokalrunde und Siegwahrscheinlichkeiten im Pokalfinale bestimmen. Berücksichtigt habe ich bei den Werten, daß sich die Profis im großen Pokal bei nur neun erwarteten reinen Profibegegnungen zunächst kaum in die Quere kommen und gegen die Amateure keine Schwierigkeiten haben. In beiden Pokalen sind irgendwann kaum noch schwache Vereine vertreten, die ausscheiden könnten, so daß die Siegwahrscheinlichkeit für einen durchschnittlichen Verein langsamer sinkt. Falls die Leistungsunterschiede auch zwischen den starken Vereinen noch einmal sehr groß sind, kann das natürlich ein Denkfehler sein. Die p(i) lassen sich jetzt jedenfalls ganz einfach berechnen, z. B. für die erste Runde im großen Pokal mit p(1) = (0,5*48+0,9*80):128 = 0,75 = 75%. Korrekt wäre zwar (0,5*47+0,9*80):127, weil der Verein nicht gegen sich selbst spielen kann. Aber spätestens ab der zweiten Runde muß ich sowieso die Zahlen aus dem Abschnitt Die Chancen der Amateure übernehmen, und groß kann der Fehler nie werden. In Tabellenform sehen die Ergebnisse dann so aus:

Solange noch eine nennenswerte Anzahl an Amateuren im Wettbewerb ist, stehen die Chancen auf ein Weiterkommen überdurchschnittlich gut. Überraschen wird das niemanden, aber eine Siegchance von 66% in der zweiten Runde des großen Pokals ist schon bemerkenswert. Zwei von drei Spielen wird man hier gewinnen -- das muß doch Auswirkungen auf den Wert eines Pokalspiels haben...

Der Wert eines Pokalspiels

Damit ist das Handwerkszeug komplett: Die Werte für p(i) muß man nur noch in die Formel aus dem Abschnitt Die Grundlagen einsetzen, und die Ergebnisse in eine Tabelle packen:

Na, das ist doch ganz beachtlich: Schon im kleinen Pokal ist der Sieg in der ersten Pokalrunde 2 * (1WP + 40 kKj) wert, also doppelt so viel wie der Sieg in einem Ligaspiel! Im großen Pokalwettbewerb sogar das 2,3-fache. Wohlgemerkt handelt es sich dabei um den Wert des Sieges, der Erwartungswert für die im Pokal durchschnittlich erreichbaren WP liegt niedriger, nämlich bei 1,36 * (1WP + 40 kKj) im kleinen und 1,74 (1WP + 40 kKj) im großen Pokal. Aber auch der Sieg im Viertelfinale ist noch beachtliche 1,57 Siege in der Liga wert, obwohl im Halbfinale und Finale brutalstmögliche Gegner zu erwarten sind. Es scheint sich also jederzeit zu lohnen, den Pokal ernst zu nehmen, selbst wenn man gar nicht scharf auf den Titel ist.

Eine kleine Bestandsaufnahme

Wirklich bahnbrechend Neues hat der Artikel vermutlich niemandem vermittelt. Daß zum einen WP für den Sieg noch durchschnittlich etwa ein halber für die nächste Runde, ein viertel für die übernächste kommen, liegt nahe. Rechnet man mit 50% Siegwahrscheinlichkeit pro Runde, kommt man damit auf einen Wert von knapp 2 * (1WP + 40kKj) für das erste Pokalspiel in beiden Wettbewerben, das paßt schon sehr schön.

Die Auswirkungen der im Pokal zusätzlich verbratenen Härtepunkte bleiben bei dem Ansatz natürlich unberücksichtigt. Spielt man im Pokal mit Härte, sind die Werte etwas geringer, weil man die Auswirkungen von Sperren hauptsächlich in der Liga zu spüren bekommt. Viel wird das kaum ausmachen -- Auch die zusätzlichen Sperren fallen ja nur in Pokalspielen an, die tatsächlich stattfinden. Angenommen, der untersuchte durchschnittliche Verein bekommt in jedem Liga- und Pokalspiel genau eine gelbe Karte. Das sind in der Saison 22 gelbe Karten in der Liga und 1 + 0,75 + 0,75 0,66 + 0,75 0,66 0,56 + 0,75 0,66 0,56 0,47 + 0,75 0,66 0,56 0,47 0,43 + 0,75 0,66 0,56 0,47 0,43 0,41 = 2,73 gelbe Karten im Pokal. Die Karten im Pokal werden im Schnitt etwa eine Sperre verursachen, die ich mit höchstens 100 kKj bewerten würde. Insgesamt ist der Pokal für einen Verein, der nur selten Härte einsetzt, beispielsweise weil er über eine überdurchschnittliche Hintermannschaft verfügt, etwas wertvoller als für andere Vereine.

Die Siegwahrscheinlichkeiten für den durchschnittlichen Verein habe ich hier aus dem Bauch geraten. Etwas genauer will ich aber doch wissen, wie die Zahlen aussehen müssen, und über die Siegwahrscheinlichkeiten von starken und schwachen Vereinen und damit über den Wert von Siegen im Pokal für diese weiß ich noch gar nichts. Erste Zahlen dazu liefert der Artikel Siegwahrscheinlichkeiten in der ersten Pokalrunde.

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